AI 开始发现新数学了吗：从 FunSearch 到 AlphaEvolve

2023 年 12 月之前，「AI 做数学」的主流叙事是刷题：把人类出好的题做对，分数再高也只是解题速度的差异。FunSearch 改变了这件事的性质——它交出的不是答案，而是人类此前不知道的构造。此后两年，这条「机器发现」路线一路推进到 2026 年：矩阵乘法指数的纪录被刷新，陶哲轩开始把 AlphaEvolve 当成日常工具，连 Erdős 问题清单上也出现了「方法来自大模型输出」的注脚。本文回答三个问题：AI 到底「发现」了什么新数学？这些结果是怎么被找出来的？以及——它们经得起多大程度的推敲。

先分清两种「AI 做数学」

讨论之前先把概念切开。「AI 解题」是对着已知答案或已知可判定的问题求解，奥数、竞赛题、基准测试都属于这一类，判据是分数；「AI 发现」则是产出人类此前不掌握的对象——新的构造、新的界、新的算法，判据不再是「对不对」，而是「新不新、可不可验证」。后者的门槛其实更硬：一个构造摆出来，任何人都可以拿评估器验证它，造假空间比考试小得多。这也是为什么这条路线虽然产量不高，说服力却很强。

发现也有三种形态：改进已知问题的界或构造（cap set、kissing number）、发现新算法（矩阵乘法、调度与内核优化）、以及最罕见的「提出人类没想到的证明思路」。下面按时间线看这三个台阶。

FunSearch：第一次越过人类已知最好成绩

2023 年 12 月 14 日，DeepMind 在 Nature 发表 FunSearch（Romera-Paredes 等人），副标题就是「来自程序搜索的数学发现」。它的主角问题叫 cap set：在 n 维格点上选一个点集，每个坐标只能取 0、1、2，要求任何三个点都不构成等差数列——直观理解，就是卡牌游戏 Set 里凑不出「三张同维同值」组合的最大牌组。这个问题看着玩具，却是加性组合数学的核心对象，与著名的三个素数定理有血缘关系。

FunSearch 在 n=8 时构造出了 512 个点的集合，把此前已知的最佳构造（Edel 的 496 个点）向上推了一步；渐近意义上的「容量」下界也从 2.2180ⁿ 提到 2.2202ⁿ，Nature 摘要称之为该问题二十年来最大的渐近下界改进。注意这是「地盘扩张」而非「盖棺定论」——n=8 的真正最大值仍未知，渐近上界（Ellenberg–Gijswijt，约 2.756ⁿ）也还远没有触及。同一位「发现者」顺手还改进了在线装箱启发式：在十万件物品的大规模 Weibull 实例上，它给出的装箱方案超出最优下界仅 0.03%，对照组 best-fit 算法是 3.79%。

原理：只进化一个函数，其余交给评估器

FunSearch 的机制出乎意料地朴素：冻结的大语言模型（基于 PaLM 2 的 Codey）负责提出程序修改，自动评估器负责打分，岛屿式进化数据库负责筛选下一代种群，前后采样约百万次、全程不做微调。关键设计是只进化程序中的一个小函数——比如装箱里的「下一个物品放哪」优先级函数——其余框架代码保持不变。这样产出的是人类可读、可简化、可验证的程序：cap set 那个 n=8 的优先级程序，事后还被研究人员手工简化成了一个显式构造。

AlphaEvolve：从进化一个函数到进化整个代码库

2025 年 5 月 14 日，DeepMind 发布 AlphaEvolve，配套白皮书于 6 月挂上 arXiv（编号 2506.13131）。它把 FunSearch 的套路放大了一号：LLM 集群（Gemini Flash 管广度采样、Gemini Pro 管深度打磨）提议修改，对象从「一个函数」升级为「整个代码库」，评估器闭环不变。

数学侧最响亮的结果是矩阵乘法：AlphaEvolve 找到了把两个 4×4 复数值矩阵相乘只需 48 次标量乘法的算法，改写了 Strassen 1969 年以来保持 56 年的 49 次纪录。这里有两个限定词必须划重点。其一，复数值——Strassen 算法在任何域上都成立，而这个 48 次算法依赖复数结构，随后 Dumas 在 2025 年 6 月补出了只用有理系数的版本，才算把短板填齐。其二，56 年指的是这一固定尺寸纪录，它不等于复杂度指数 ω 的纪录（见下文）。几何侧，AlphaEvolve 把 11 维 kissing number（相邻能与一个单位球同时相切的最大球数）的下界从 592 提到 593——这一维的精确值如今夹在 593 与 594 之间，仍待定夺。

白皮书给出的开放问题成绩单值得原样记住：在五十多个来自分析、几何、组合、数论的开放问题上，约 75% 重现了已知最优解，20% 改进了已知最优解，其余更差。工程侧的数字更「性感」：数据中心调度启发式上线一年，平均持续找回 Google 全球算力资源的 0.7%；把 Gemini 训练中的关键矩阵乘法内核加速 23%，折合训练总时间缩短约 1%；FlashAttention 内核最高加速 32.5%。

2025 到 2026：发现流程开始变成生态

后续一年的进展比很多人预期得快，而且出现了「人类反超」的花絮。Sakana AI 的 ShinkaEvolve（2025 年 9 月）走样本效率路线，只用 150 次评估就刷新了 26 圆装单位圆问题的最优解——AlphaEvolve 用远多于 150 次的评估才把同一个指标推进 0.001。人类这边，Aalto 大学的研究生 Ganzhinov 用独立方法把 11 维 kissing number 做到 592，恰好比 AlphaEvolve 的 593 差一步。

真正的分水岭是陶哲轩入伙。2025 年 11 月，Georgiev、Gómez-Serrano、陶哲轩与 Wagner 的论文把 AlphaEvolve 对准 67 个分析、组合、几何问题：约 20 个得到新结果，包括重现 Gerver 沙发的最优解、给出 3 维沙发新设计，以及小幅打破 3 维有限域 Kakeya 集的构造纪录——这个改进随后被 Gemini Deep Think 证明，并用 Lean 形式化。AI 找构造、AI 证构造、机器验构造，第一次串成了一条龙。

2026 年又上了三个台阶。其一，矩阵乘法指数 ω 的上界从 2.371339 降到 2.371177 以下（arXiv 编号 2608.16884，作者阵容里有算法复杂性方向的旗手 Vassilevska Williams），AlphaEvolve 是其中三大方法之一——注意主要推进来自激光法组合损失的分析，AI 是「精炼优化算法」的角色，这与宣传口径的分工不同。其二，Erdős 问题 #1196 等一批 1966 年猜想的证明里，论文摘要明确写出核心方法「由 GPT-5.4 Pro 的输出提示」，陶哲轩是共同作者——「AI 出思路、人类完成证明」有了第一个高规格样板。其三，争议最大的 OpenAI Navier–Stokes 事件：2026 年 9 月宣布「AI 生成解 + Lean 形式化证明」，但它走的是 Clay 官方问题陈述里允许外加力项诱发爆破的版本，千禧年主问题并未解决（该事件的优先权之争，本站此前的专题文章已详述，此处不展开）。

这算「发现」吗：批评者的三个理由

结果本身没什么可争议的——构造可验证、算法可复现，48 次乘法还被社区独立复核过。争议集中在「发现」这个词的分量上。

理由一：幅度与实用性。 49 到 48 只省一次乘法，而且 4×4 固定尺寸构造对应的渐近指数约为 2.79，远高于已知的 ω 纪录 2.3712 以下，对实际计算没有性能意义；「复数值」限定也让标题弱于字面。数学社区（Hacker News、MaplePrimes）在发布当天就有这类讨论。

理由二：METR 的「无加速」清单。 2026 年 8 月，METR 的研究笔记考察了七条算法优化指标的时间序列（nanoGPT、CIFAR-10 训练、Gurobi、MIPLIB、Stockfish、ω 指数等），没有一条显示出 AI 带来的加速；笔记还点破了一个容易被忽略的事实——表面上的「通用提示做出发现」，可能隐藏着「在选择问题、验证解时所用的人类专业能力」。ω 的每一步推进都对应人类证明，就是这条观察的注脚。

理由三：陶哲轩的亲历者观察。 他与自己团队 67 个问题的复盘说得相当直白：AlphaEvolve 擅长发现那些「本就在现有数学射程之内、只是前人没花时间去找」的构造；对于需要真正新的深层洞察才能前进的问题，「很可能不是合适的工具」。他还提醒，AlphaEvolve「极其擅长钻验证代码的空子」，数值上的漂亮结果可能是验证器漏洞的产物而非真进展——盲信有风险。

把三份批评放在一起，本文作者的判断是：它们并不否定结果的真实性，质疑的是叙事的高度。目前的机器发现更接近「把人类数学的已勘探区域搜索得更密」，尚未出现由 AI 独立完成的概念跃迁；但「陶哲轩把它当日常工具用」这件事本身，已经足以让它留在研究议程的核心位置。

小结

从 FunSearch 到 AlphaEvolve 再到陶哲轩的 67 题实验，机器发现这条路线两年里完成了「方法验证 → 工具化 → 进入数学家工作流」的三级跳，代表成绩是 cap set 512、4×4 矩阵乘法 48 次、kissing number 593 和一串 Erdős 问题的推进。它的真实画像不是「机器数学家」，而是一台不知疲倦的构造搜索机：搜索空间由人类圈定，验证标准由人类设计，产出是否「深刻」仍由人类裁决。下一块试金石已经清晰可见——它能不能在没有人类提示的方向上，自己选一个值得攻的问题。

参考资料

1. Romera-Paredes et al., Mathematical discoveries from program search with large language models, Nature, 2023-12-14——FunSearch 原始论文，cap set 与装箱结果的权威出处。
2. AlphaEvolve: A Gemini-powered coding agent for designing advanced algorithms（Google DeepMind 官方博客，2025-05-14）——48 次乘法、kissing number 593 与工程数字的官方口径。
3. Novikov et al., AlphaEvolve: A coding agent for scientific and algorithmic discovery, arXiv:2506.13131——白皮书，「75% 复现、20% 改进」成绩单出处。
4. Georgiev, Gómez-Serrano, Tao, Wagner, Mathematical exploration and discovery at scale, arXiv:2511.02864（陶哲轩博客导读）——67 题实验与「现有射程之内」的亲历者评价。
5. Dupont et al., Improving the matrix multiplication exponent with modern optimization and AlphaEvolve, arXiv:2608.16884——ω 上界降到 2.371177 以下的最新纪录。
6. Alexeev et al., Primitive sets and von Mangoldt chains: Erdős Problem #1196 and beyond, arXiv:2605.00301——「方法由 GPT-5.4 Pro 输出提示」的高规格证明样板。
7. Cunningham & Rush, Have We Seen an Acceleration in Discoveries?（METR，2026-08-14）——七条时间序列无加速证据的批判性考察。
8. Sakana AI, ShinkaEvolve（官方博客，2025-09）——150 次评估刷新 26 圆装箱的样本效率路线。